Definição
Na figura ao lado temos:
- um plano α
- um polígono P contido em α
- um ponto V que não pertence a α
A figura geométrica formada pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade no ponto V e a outra num ponto do polígono P denomina-se pirâmide.
Elementos
- base: é o polígono convexo contido no plano α
- vértice: é o ponto V
- faces laterais: são os triângulos que compõe a parede da pirâmide
- arestas das bases: são os lados do polígono da base
- arestas laterais: são os segmentos que ligam um ponto do polígono que está contido no plano α até o ponto V
- altura: é a distância entre o ponto V e o plano α
Classificação
De acordo com o polígono que compõe sua base, as pirâmides podem ser:
- triangulares (a base é um triângulos)
- quadrangulares (a base é um quadrilátero)
- pentagonais (a base é um pentágono)
Pirâmide regular
Uma pirâmide é regular quando sua base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base.
Numa pirâmide regular, destacamos:
- o polígono da base é regular e, portanto, inscritível numa circunferência de raio OA= r, chamado raio da base.
- o apótema do polígono regular da base é chamado apótema da base e sua medida será indicado por m.
- as arestas laterais são congruentes e sua medida será indicada por a.
- as faces laterais são triângulos isósceles congruentes.
- a altura de uma face lateral (é a altura relativa à base de um triângulo isósceles) é chamada de apótema da pirâmide e sua medida será indicada por g.
Considere a pirâmide regular da figura e observe os triângulos retângulos:
Sendo ℓ a medida do lado do polígono regular que é a base da pirâmide, temos: a² = g² + (ℓ/2)²
Secção de uma pirâmide
A intersecção de uma pirâmide com um plano que intercepta todas as arestas laterais denomina-se secção da pirâmide.
A secção determinada numa pirâmide por um plano paralelo à base é denominada secção transversal.
α // β
Podemos demonstrar que se as duas pirâmides têm a mesma área da base e a mesma altura, então as secções transversais, equidistantes dos vértices, têm a mesma área.
Propriedades das secções transversais em pirâmides
Na figura a seguir, o quadrilátero A'B'C'D' é uma secção transversal da pirâmide VABCD.
- área da base maior: B
- área da base menor: b
- altura da pirâmide VABCD: h
- altura da pirâmide VA'B'C'D': d
- altura do tronco: k
- volume da pirâmide menor: V'
- volume da pirâmide maior: V
Como as bases das duas pirâmides são paralelas, utilizando a semelhança de triângulos, temos:
1° propriedade: ∆VM'A' ~ ∆VMA → VA'/VA= d/h (razão da semelhança)
2° propriedade: ∆VA'B' ~ ∆VAB → A'B'/AB = VA'/VA → A'B'/AB = d/h
Procedendo de modo análogo para as outras faces da pirâmide VABCD, vem:
B'C'/BC = d/h C'D'/CD = d/h A'D'/AD = d/h
Então:
A'B'/AB = B'C'/BC = C'D'/CD = A'D'/AD = d/h
3° propriedade: A razão entre a área da secção A'B'C'D' e a área da base ABCD é igual ao quadrado da razão de semelhança, ou seja:
b/B = ( A'B'/AB )² = (d/h)² → b/B = d²/h²
V'/V = ⅓ • b • d / ⅓ • B • h = d²/h² • d/h → V'/V = d³/h³
Essas propriedades são válidas, de um modo geral, quando seccionamos uma pirâmide qualquer por um plano paralelo à base.
Áreas da superfície de uma pirâmide
A figura à direita representa a planificação de uma pirâmide quadrangular regular
Vamos definir a área de algumas partes da superfície dessa pirâmide.
Área da base (Aь): é a área do polígono da base
Área lateral (Aℓ): é a soma das áreas de todas as faces laterais
Área total (Aᵗ): é a soma da área lateral e da área da base.
Aᵗ = Aℓ + Aь
observações:
- Essas definições se estendem as pirâmides não regulares.
- Numa pirâmide regular, polígono da base possui n lados, a área lateral pode ser calculada multiplicando por n a área de cada face lateral.
Tetraedro regular
A pirâmide que possui quatro faces e todas elas são triângulos equiláteros é chamada tetraedro regular.
Altura do tetraedro regular
Seja ABCD um tetraedro regular de aresta a.
O apótema de uma face do tetraedro é a altura de um triângulo equilátero de lado a, ou
seja, g = a√3/2.
Como esse tetraedro é uma pirâmide regular, a projeção do vértice D sobre o plano da base é o
centro H do triângulo ABC.
Então, H é o baricentro (ponto de encontro das medianas) desse triângulo, ou seja, MH = ⅓ g.
Considerando o triângulo retângulo DHM e aplicando Pitágoras, temos:
g² = h² + ( ⅓ g )² → h² = g² - 1/9 g² logo: h² = 8/9 g²
Como g = a√3/2, temos: h² = 8/9 • (a√3/2)²
h = √24a²/3 → h = 2a√6 /6 logo: h = a√6 /3
Área total do tetraedro regular
Como as faces do tetraedro regular são triângulos equiláteros de lado a, a área total do tetraedro regular é igual a quatro vezes a área de uma face.
Aᵗ = 4 • Af → Aᵗ = 4 • a²√3 /4 logo: Aᵗ = a²√3
Volume de uma pirâmide
Para encontrarmos o volume de uma pirâmide basta fazer um terço da área da base vezes a altura.
V = Aь•h/3
Tronco de pirâmide
O tronco de pirâmide é obtido ao se realizar uma secção transversal numa pirâmide, como mostra a figura:
Cálculo das áreas do tronco de pirâmide.
Num tronco de pirâmide temos duas bases, base maior e base menor, e a área da superfície lateral. De acordo com a base da pirâmide, teremos variações nessas áreas. Mas observe que na superfície lateral sempre teremos trapézios isósceles, independente do formato da base da pirâmide. Por exemplo, se a base da pirâmide for um hexágono regular, teremos seis trapézios isósceles na superfície lateral.
A área total do tronco de pirâmide é dada por:
St = Sl + SB + Sb
Onde
St → é a área total
Sl → é a área da superfície lateral
SB → é a área da base maior
Sb → é a área da base menor
Cálculo do volume do tronco de pirâmide.
A fórmula para o cálculo do volume do tronco de pirâmide é obtida fazendo a diferença entre o volume de pirâmide maior e o volume da pirâmide obtida após a secção transversal que produziu o tronco. Colocando em função de sua altura e das áreas de suas bases, o modelo matemático para o volume do tronco é:
Onde,
V → é o volume do tronco
h → é a altura do tronco
SB → é a área da base maior
Sb → é a área da base menor
O tronco da pirâmide é a parte da figura que apresenta as arestas destacadas em vermelho.
É interessante observar que no tronco de pirâmide as arestas laterais são congruentes entre si; as bases são polígonos regulares semelhantes; as faces laterais são trapézios isósceles, congruentes entre si; e a altura de qualquer face lateral denomina-se apótema do tronco.
Cálculo das áreas do tronco de pirâmide.
Num tronco de pirâmide temos duas bases, base maior e base menor, e a área da superfície lateral. De acordo com a base da pirâmide, teremos variações nessas áreas. Mas observe que na superfície lateral sempre teremos trapézios isósceles, independente do formato da base da pirâmide. Por exemplo, se a base da pirâmide for um hexágono regular, teremos seis trapézios isósceles na superfície lateral.
A área total do tronco de pirâmide é dada por:
St = Sl + SB + Sb
Onde
St → é a área total
Sl → é a área da superfície lateral
SB → é a área da base maior
Sb → é a área da base menor
Cálculo do volume do tronco de pirâmide.
A fórmula para o cálculo do volume do tronco de pirâmide é obtida fazendo a diferença entre o volume de pirâmide maior e o volume da pirâmide obtida após a secção transversal que produziu o tronco. Colocando em função de sua altura e das áreas de suas bases, o modelo matemático para o volume do tronco é:
Onde,
V → é o volume do tronco
h → é a altura do tronco
SB → é a área da base maior
Sb → é a área da base menor
Fonte: Matemática uma nova abordagem versão trigonometria
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/tronco-piramide.htm
Para um melhor entendimento assista ao vídeo aula do professor Guilherme.
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